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Optionsbewertungsmodelle

Von Alois Högl, Berlin

Verfahren zur Optionsbewertung werden zwar häufig benutzt, um quantitative Vergleiche zu ermöglichen und die Plausibilität von geforderten Preisen zu überprüfen (Kruse 2014), vernachlässigt werden dabei aber oft kritische Annahmen, obwohl sehr wohl bekannt ist, dass diese häufig zutreffend sind (Ullrich 2014)

Während die nach Black und Scholes vorgehenden Optionsbewertungsmodelle, die zum Standard für die Bewertung europäischer Optionen geworden sind (Kruse 2014) von einer einheitlichen impliziten Volatilität für die gesamte Optionslaufzeit ausgehen, zeigte sich, dass diese in der Praxis von dem Basispreis (Volatility Smile) und der Restlaufzeit (Zeitstruktur) der Optionen abhängt. Dieser Effekt widerspricht einer der wesentlichen Grundannahmen des Modells von Black und Scholes. Durch die Entwicklung der Transaktionen selbst gefordert wurde also ein neuartiges Optionsbewertungsmodell, das eine Veränderung der Volatilität während der Optionslaufzeit ermöglicht und trotzdem noch das der Theorie von Black / Scholes zugrunde liegende Konzept der Konstruktion eines risikolosen Hedge-Portfolios gewährleistet. Die Lösung dieses Problems versuchen u.a. die impliziten Optionsbewertungstheorien von Rubinstein (Rubinstein 1994), Derman / Kani (Derman / Kani / et. al. 1994, 1996a und b) und Dupire (Dupire 1994).

Diese Theorien, denen neben der Verwendung binomischer Bäume (Brown /Toft 1997, Jackwerth 1997) das Prinzip der risikoneutralen Bewertung zugrunde liegt, gehen davon aus, dass die Preise liquide gehandelter Optionen ökonomisch bedeutsame Daten über zu prognostizierende Aktienkursverläufe und damit die Marktpreise der jeweiligen Option liefern können. Außer einem wirksameren Hedging läßt sich damit auch die Bewertung anderer (illiquider) Optionen auf denselben Basiswert präzisieren.

Von Studer und Lüthi (Lüthi / Studer 1997, Studer 1995, Studer / Lüthi 1996) entwickelt wird die Theorie des maximalen Verlustes (Maximum Loss - ML), welche sich zur Identifikation des schlimmsten Falles eines gegebenen Szenarios des Levenberg-Marquardt Theorems bedient um das multidimensionale Optimierungsproblem in einer eindimensionalen Wurzelziehung abzubilden und somit als Weg zur systematischen Identifizierung der ‘schwarzen Löcher’ eines Portfolios unter normalen Marktbedingungen zu dienen, ohne dabei die Korrelationen zwischen den einzelnen Risikofaktoren auszublenden. Das Maximum Loss Konzept versucht also eine Brücke zwischen Value-at-Risk und Stress-Tests zu bilden. Das grundsätzliche Problem der Stress-Tests besteht ja in dem völligen Mangel an methodologischen Grundlagen. Die Wahl der zu testenden Variablen und die Festlegung der Szenarien sowie die Begrenzung der zu untersuchenden Bandbreite an Extremfällen ist immer noch weit mehr eine Kunst als eine Wissenschaft (Bensman 1995; Elliott 1997; Spinner 1996).

Die kohärente Maximum Loss Theorie identifiziert also die Risikoquellen, bietet eine Möglichkeit die Schlüsselpositionen der Verluste und Gewinne eines Portfolios und risikominimierende Hedge-Verfahren zu bestimmen.

Vor allem durch die Integration der Korrelation der Risikofaktoren in das Modell setzt sich das Maximum Loss-Konzept positiv von den meisten kohärenten Risikomessungsverfahren (z.B. Stress Tests, factor push, BIZ standardisierte Methodologie) ab, da deren Ignoranz gegenüber den Korrelationen zu dramatischen Überschätzungen des Kreditrisikos führt.

Ein weiterer interessanter Ansatz zur numerischen Berechnung des VaR von quadratischen Portfolios findet sich bei Rouvinez (Rouvinez 1997).

Mit Hilfe der Monte Carlo Simulation und dem Logit-Modell, einem logistischen Regressionsmodell zur Modellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten, bestimmt Wilson (1997) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertänderung eines Kreditportfolios (kurz Verlustverteilung) und leitet diverse Risikokennziffern ab, darunter den zu erwartenden Verlust. Die Monte Carlo Methode erlaubt nicht allein für europäische Optionen, sondern auch für amerikanische Puts eine sehr genaue Einschätzung des Wertes, selbst wenn die Einflussfaktoren signifikant variieren. Effektiver als herkömmliche Ansätze wird die Monte Carlo Methode aber erst, wenn mehr als zwei stochastische Variablen in die Betrachtung einbezogen werden (Weber 2014).

Literatur